Relativitätstheorie im Gymnasium
Durch die Darstellung von Ereignissen als Punkte in Minkowski-Diagrammen können einige Aussagen der speziellen Relativitätstheorie auch in einem Gymnasium gut behandelt werden. Verwendet man symmetrische Diagramme, dann sind Zeitdilatation aber auch relativistische Massenzunahme sogar quantitativ erfassbar, da aus der Mathematik nur die Theorie der rechtwinkligen Dreiecke zum Einsatz kommt.
In einem Minkowski-Diagramm werden nur eine Ortskoordinate (die x - Achse) und die Zeit multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit als weitere Achse dargestellt. Da die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen gleich ist, müssen die Achsen so geneigt sein, dass ein Lichtsignal stets eine Winkelsymmetrale der beiden Achsen ist.
Versuche nun folgende Zeichnung zu interpretieren:
Ausgehend von einem sogenannten "Mittensystem", welches kartesisch gezeichnet ist, sind die Achsen zweier Inertialsysteme (indiziert mit 1 und 2) dargestellt, welche sich mit 60 % der Lichtgeschwindigkeit nach links und rechts entlang der x - Achse bewegen. Diese symmetrische Darstellung der beiden relevanten Bezugssysteme hat den großen Vorteil, dass die Skalierung der Achsen in beiden Systemen gleich ist, da die Skalierung nur vom Betrag der Geschwindigkeit nicht jedoch von der Richtung abhängen kann.
Betrachten wir zunächst das grün unterlegte rechtwinklige Dreieck. Die Geschwindigkeit des 2-Systems relativ zum 1-System geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit ist dann als Längenverhältnis der Kathete, welche parallel zur x - Achse des 1-Systems liegt, zur Hypotenuse sichtbar. Die Zeitdilatation als Verhältnis der Systemzeit (1-System) zur Eigenzeit der bewegten Uhr (2-System) ist offensichtlich als das Verhältnis der Hypotenusenlänge zur Länge der anderen Kathete gegeben. Das Ereignis "1" bedeutet, dass die im 2-System ruhende Uhr, also die im 1-System bewegte Uhr, eine Zeiteinheit anzeigt. Dazu ist im 1-System das Ereignis "2,125" gleichzeitig.
Wenn zwei gleichartige Massen jeweils in einem der beiden Inertialsysteme ruhen, dann stellt das Mittensystem das Schwerpunktsystem der beiden Massen dar. Vom 2-System aus müssen sich daher die beiden Massen wie die eingezeichneten Strecken m1 und m2 verhalten. Da die beiden farbig unterlegten Dreiecke ähnlich sind, muss das Verhältnis aus Ruhemasse zur bewegten Masse gleich dem Verhältnis aus Eigenzeit zur Systemzeit sein. Mit dem pythagoräischen Lehrsatz erhalten wir daher:
